Invariancia y vectores Muchas leyes físicas tienen la propiedad llamada invariancia (que no varían) frente a transformaciones de coordenadas, concretamente presentan invariancia respecto a la traslación y a la rotación de los ejes coordenados. Por ejemplo, pensemos en una fuerza aplicada sobre un objeto de masa m = 1Kg tal que su magnitud es de 10N y su dirección forma un ángulo de 45 con el eje X, siendo su sentido positivo. Esa fuerza provocará una aceleración sobre el cuerpo, de magnitud dada por la ley de Newton a = F / m = 10N / 1Kg = 10 m/s² y dirección coincidente con la de la fuerza. Si nos preguntamos qué cambiará cuando movemos los ejes de coordenadas hacia la derecha, y los giramos 30 grados en sentido antihorario, la respuesta es que la aceleración será exactamente la misma pero el vector que la representa tendrá unas componentes distintas, relativas al nuevo eje de coordenadas. Fig. 1: La aceleración producida por la fuerza no depende de la traslación o rotación de...
La obra magna de Newton
Isaac Newton definió en el siglo XVII unas leyes universales para el movimiento de los cuerpos sujetos a fuerzas (rama de la Física que se llama Dinámica) en sus Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, (Principios Matemáticos de la Filosofía de la Naturaleza) que describían de forma muy precisa y rigurosa el movimiento de una enorme diversidad de cuerpos, desde un grano de arena llevado por el viento hasta las órbitas de los planetas alrededor del Sol. No fue hasta el siglo XX con la teoría de la Relatividad que se vieron inexactitudes en la dinámica de Newton.
Toda la dinámica de Newton se basa en las "fuerzas" (entendidas como interacciones entre cuerpos o entre campos y cuerpos, como por ejemplo el campo gravitatorio) y los "cuerpos" que se definen como objetos con un volumen y una masa. Tales leyes son tres:
- 1a ley, de la inercia: un cuerpo permanece o bien en estado de reposo o bien en movimiento rectilíneo a velocidad constante cuando ninguna fuerza actúa sobre él.
- 2a ley, de la masa inercial y la aceleración: la aceleración de un cuerpo, que es la variación de la velocidad por unidad de tiempo, es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza que actúa sobre el cuerpo.
- 3a ley, de acción y reacción: todo cuerpo que ejerce una fuerza F sobre otro cuerpo (acción), recibirá de ese otro cuerpo una fuerza -F (reacción) de sentido contrario y de la misma magnitud
En el pensamiento del siglo XVII tales afirmaciones tenían una buena parte de "filosóficas" pues explicaban el movimiento físico de los cuerpos que tenemos alrededor en base a conceptos no tangibles como "las fuerzas" y "las masas", conceptos que no estaban nada claros en esa época; en el caso de la caída de los cuerpos no se veía ninguna "cosa" que tirara hacia abajo de los cuerpos para hacerlos caer, así que la interacción era algo intangible. De ahí el título de la obra, que alude a la Filosofía de la Naturaleza, pues así se comporta la Naturaleza, interactuando de forma invisible e intangible.
Primera Ley de Newton, de la inercia
Estática: En ausencia de fuerzas, o no hay movimiento o si lo hay, es rectilíneo y uniforme (de velocidad constante); hay que precisar que pueden haber fuerzas actuando, pero dispuestas de tal forma que se anulen las unas a las otras, en este caso entendemos que queremos decir que la resultante de todas las fuerzas es nula. La rama de la Física que estudia los sistemas de fuerzas en equilibrio es la Estática. La anulación de las fuerzas, al ser vectores, dependerá de sus direcciones y magnitudes; el caso más simple es de fuerzas aplicadas sobre un cuerpo con dimensiones despreciables que puede considerarse puntual (figura 1), descomponiendo cada fuerza en sus componentes según ejes cartesianos, la suma total de componentes en cada eje debe de ser nula para que estemos en el caso estático:
Ecuaciones de la estática de cuerpos puntuales:$$\sum_i\overrightarrow{F_i}=0\Leftrightarrow\sum_iF_{xi}\widehat x=0,\text{ }\sum_iF_{yi}\widehat y=0,\text{ }\sum_iF_{zi}\widehat z=0$$ [1]
donde representamos por $$\widehat x,\widehat y,\widehat z$$ los versores (vectores de módulo 1 en la dirección de un eje) de los ejes X, Y, Z.
Si el cuerpo no tiene dimensiones puntuales el problema de ver si el sistema de fuerzas aplicadas se anula se complica, pues si tenemos fuerzas de igual magnitud, dirección opuesta, pero aplicadas en distintos puntos del cuerpo, no se anulan sino que producen un par de giro; esto sucede porque la ecuación vectorial [1] sólo sirve para el caso de que todos los vectores sean vectores fijos (su origen es un punto fijo), pero en el caso de un cuerpo de dimensiones no despreciables las fuerzas pueden desplazarse por el cuerpo y seguir interactuando con él: en la figura 2 vemos un cuerpo con forma de paralepídedo con una fuerza F aplicada en el punto P que lo empujará, pero si deslizamos la fuerza a lo largo de la línea L para aplicarlo en el punto Q seguirá interactuando con el cuerpo, esta vez tirando de él.
En ausencia de gravedad el efecto de la fuerza F seria el mismo tanto en el punto P como en el Q: produciría una aceleración en la dirección de L. en esta situación concreta dónde podemos deslizar la fuerza sin que deje de interactuar con el cuerpo decimos que la fuerza es un vector deslizante.
En cambio si hay gravedad aparece la fuerza constante del peso del cuerpo P = Mg que suponemos aplicada siempre en el punto centro de gravedad G, y en tal caso la combinación del vector F con el vector P que están situados en puntos distintos del cuerpo produce un par de giro que hará girar al cuerpo de forma acelerada (rotación acelerada) además de moverlo en la dirección de L. Tal par de giro se describe matemáticamente usando el denominado momento de una fuerza que es un tipo especial de vector denominados vectores axiales, o vectores polares, o también pseudovectores. (ver por ejemplo el artículo Vectores en Física).
Entonces la condición de la 1a ley de Newton sólo se cumplirá si las fuerzas actuantes resultan en un par de giro nulo, o equivalentemente, en un momento total nulo, además de cumplir la ecuación de equilibrio [1], tenemos pues dos ecuaciones para la estática de cuerpos no puntuales:
Ecuaciones de la estática de cuerpos no puntuales: $$\sum_i\overrightarrow{F_i}=0,\text{ }\sum_i\overrightarrow{M_i}$$ [1b]
Un caso especial, más complicado, es cuando aplicamos la primera ley de Newton para los fluidos, pues ni son cuerpos puntuales ni cuerpos con una forma fija y definida: es la estática de fluidos (ver por ejemplo Estática de fluidos (I)).
2a Ley de Newton: masa inercial y aceleración
La segunda ley establece el principio de que si aplicamos diversas fuerzas a un cuerpo, las aceleraciones que observamos son directamente proporcionales a las fuerzas; por tanto dividiendo fuerza aplicada al cuerpo por aceleración obtenida obtenemos una constante que es propia del cuerpo:
$$\frac Fa=\frac{F'}{a'}=\frac{F''}{a''}=\dots=m$$ [2]
a esta constante la llamamos masa inercial, o simplemente masa; observemos que la masa se define en la mecánica de Newton como esa constante de proporcionalidad entre fuerza y aceleración, sin ninguna referencia a la gravedad y al peso del cuerpo. La expresión matemática de esta ley usa la definición de aceleración como variación de la velocidad respecto al tiempo, en forma más precisa y a la vez más general la establece en base a cómo se relacionan las variaciones de velocidad y de masa con la fuerza aplicada, suponiendo que la masa del cuerpo pueda ser también variable, en forma de ecuación diferencial: $$F=\frac{\operatorname d\left(mv\right)}{\operatorname dt}$$ [3] al producto de la masa por la velocidad, mv, se le denomina impulso, o cantidad de movimiento, y es un vector pues v también lo es. En el caso de que la masa sea constante puede sacarse fuera de la derivada respecto al tiempo y nos queda la expresión simplificada más conocida, $$F=\frac{\operatorname d\left(mv\right)}{\operatorname dt}=m\frac{\operatorname dv}{\operatorname dt}=ma$$ [4].
Ejemplo 1: Un motor de combustión ejerce una fuerza F sobre un vehículo de masa m = 1.200Kg que es aproximadamente proporcional a las revoluciones a las que gira el motor, y vale F = 6R Newton, donde R son las revoluciones por minuto (rpm), que toman valores entre 1.000 (ralentí) y 4.000 (régimen de par máximo a partir del cual decae la fuerza). Si pisamos el acelerador a fondo desde el ralentí, el motor gana revoluciones según la formula R = 1000 + 500·t siendo t el tiempo en segundos. Dar una expresión para el impulso y la aceleración del vehículo en función del tiempo.
Solución: La fuerza es F = 6·(1000 + 500·t) = 6000 + 3000t. La aceleración es a = F/m = F/1200 = 5 + 2.5t . Para encontrar el impulso p usamos [3] en la forma F = dp/dt o bien Fdt = dp, integrando esta expresión obtenemos
$$\int_{t=0}^tF\operatorname dt=\int_{p=0}^p\operatorname dp\Rightarrow\int_{t=0}^t\;\left(6000\;+\;3000t\right)\operatorname dt=6000t\;+\;1.500t^2=p$$.
Alternativamente como p = mv y la masa es constante, podemos obtener p calculando la velocidad en función del tiempo: siendo la aceleración a = dv/dt implica que dv = a·dt, integrando:
$$\int_{v=0}^v\operatorname dv=\int_{t=0}^ta\operatorname dt=\int_{t=0}^t\left(5\;+\;2.5t\right)\operatorname dt\Rightarrow v=5t+1.25t^2$$
y multiplicando por la masa volvemos a obtener el impulso
$$p=mv=1200\left(5t+1.25t^2\right)$$. ▢
Si hay diversas fuerzas actuando, tal como hemos hecho con la 1a ley deberemos considerar la resultante suma de fuerzas, y distinguir si podemos considerar el cuerpo como puntual o no; en éste último caso las aceleraciones pueden ser de giro, de traslación, o ambas. Es importante destacar que cualquier cambio en el vector velocidad implica una aceleración y por tanto una fuerza, incluso en el caso de que la celeridad (módulo del vector velocidad) no cambie; este seria el caso de un coche cogiendo una curva "a velocidad constante" como suele decirse, en realidad queremos decir que la celeridad es constante pues al coger la curva la velocidad del coche está cambiando continuamente de dirección, por tanto el vector velocidad no es constante.
Ejemplo 2, aceleración normal: un coche entra en una curva circular de radio R = 100m y la recorre a velocidad constante v = 90km/h, sabiendo que su masa es de 1.200kg, dar la expresión de los vectores velocidad, aceleración y fuerza sobre el vehículo.
Solución: De la figura 3 deducimos que el vector velocidad en coordenadas cartesianas es
$$\overrightarrow v=\frac{90}{3.6}\left(\sin\left(\theta\right),-\cos\left(\theta\right)\right)$$,
la aceleración la obtenemos derivando el vector velocidad respecto al tiempo, pero para ello primero necesitamos expresar el ángulo θ en función del tiempo: la longitud de la circunferencia completa de la cual la curva es una parte viene dada por L = 2πR, a la celeridad de v = 90km/h el coche tardaría en recorrer todo el círculo un tiempo t = L / v = 2π·100 / (90/3.6) = 8π s, donde hemos convertido las unidades km/h a m/s, entonces la velocidad angular ω que se define como el recorrido angular por unidad de tiempo, en radianes, del vehículo, será ω = 2π /8π = 1/4 rad/s, y llegamos a la expresión que necesitamos del ángulo θ en función del tiempo: θ = ωt = t/4. Ya podemos derivar la velocidad para obtener la aceleración:
$$\overrightarrow v=\frac{90}{3.6}\left(\sin\left(t/4\right),-\cos\left(t/4\right)\right)\Rightarrow\frac{\operatorname d\overrightarrow v}{\operatorname dt}=\overrightarrow a=\frac{25}4\left(\cos\left(t/4\right),\sin\left(t/4\right)\right)$$
Observemos que la aceleración es perpendicular a la velocidad, es la denominada aceleración normal ("normal" en el sentido geométrico de ser perpendicular a la velocidad) o aceleración centrípeta causante del cambio de dirección del vector velocidad. Además, el módulo de la aceleración, a = 25/4, cumple la relación a = v²/R = (90/3.6)² / 100 [5] que es una relación general entre el módulo de la aceleración normal y la celeridad. ▢
Se suele decir que las ecuaciones [3] y [4] de Newton sólo son válidas en los sistemas de referencia denominados sistemas inerciales, que son aquellos que ellos mismos no poseen aceleración, o equivalentemente, son aquellos en los que se cumple la primera ley de Newton. Aclaremos este punto: si dejamos una canica encima de un plato giratorio observaremos que en apariencia no se cumple la primera ley, pues la canica empieza a moverse hacia la periferia del disco sin que realicemos sobre ella ninguna fuerza. Desde el punto de vista de una persona que estuviera encima del plato, girando con él, la canica "se movería sola", y en apariencia no se cumpliría la primera ley. Del mismo modo, un coche que toma una curva a velocidad constante (figura 4) será afectado por una fuerza que tiende a hacer que se salga de la curva por el exterior, y los pasajeros notarán esa misma fuerza tirando de ellos. En algunos textos se recurre a denominar fuerzas ficticias y aceleraciones ficticias a las que aparecen debido a estar situado en referencias no inerciales, fuerza ficticia llamada así porque "nadie" la está aplicando, aparece como efecto de estar situado en una referencia que está girando, o más generalmente, en una referencia acelerada. El definir fuerzas y aceleraciones "ficticias" es un recurso que permite seguir aplicando las leyes de Newton imaginando que hay fuerzas adicionales relacionadas con las referencias no inerciales.
Ejemplo 3: dinámica de un cuerpo que se deja caer sobre otro en rotación, fuerza de rozamiento. Tenemos un plato que gira con velocidad angular constante ω = 1 rad/s (aproximadamente 9.5 revoluciones por minuto) sobre el que dejamos caer verticalmente, a pequeña altura, un pequeño objeto de masa m = 0.1kg (figura 5) que impacta sobre el plato a una distancia r = 1 m del centro. El material del disco y del objeto es el mismo, y tiene un coeficiente de rozamiento dinámico k. Estudiar la aceleración y fuerza que actúan sobre el objeto.
Solución: Supondremos que al caer desde baja altura podemos ignorar un posible rebote del objeto. Al contactar las superficies del plato y del objeto se produce fricción entre ambas debido a la diferencia de velocidades, la fuerza de rozamiento F siempre tiende a igualar las velocidades oponiendo resistencia al movimiento relativo de ambas superficies, y en el caso dinámico (superficies en movimiento relativo) vale F = kmg siendo k la constante de rozamiento que depende de los materiales, m la masa del cuerpo que presiona al otro (el objeto que dejamos caer) y g la aceleración de la gravedad. La dificultad de este problema radica en la variación que se produce en la dirección de esa fuerza de rozamiento, que en módulo permanece constante pero no en dirección
En la figura 8 vemos el esquema de la situación: el objeto cuando estaba en P adquirió una pequeña velocidad v0 perpendicular a OP, pero ahora está en P', la velocidad del punto P' del plato es v, perpendicular a OP', y por tanto la hay un ángulo de giro entre la velocidad actual v0 del objeto y v del plato, la fuerza de fricción F sabemos que tiende a igualar ambas velocidades de forma que no haya deslizamiento, por tanto F cambiará de dirección dejando de ser paralela a la velocidad v para forzar el giro de la velocidad actual v0 del objeto. Usando la relación [5] a = v²/r del ejemplo 2, válida para la aceleración normal (perpendicular a v), podemos descomponer la aceleración y la fuerza en P' segun dos componentes: una tangencial, paralela a la velocidad v, y otra normal, perpendicular a v, ésta última con módulo v² / r. Teniendo en cuenta que la fuerza de rozamiento tiene un módulo constante F = kmg, y que su componente normal vale m·v² / r, la componente tangencial la obtenemos por medio de raíz de(fuerza total² - fuerza normal²):
$$F_t=m\sqrt[{}]{\left(\frac{v^2}r\right)^2-\left(kg\right)^2}$$ [6]
A medida que el objeto va ganando velocidad por medio de la aceleración tangencial producida por la componente tangencial de la fuerza de rozamiento F, se incrementa la componente normal debido a su término v²/r, y como el módulo de la fuerza total F es constante, resulta que la aceleración tangencial va disminuyendo conforme la normal aumenta: el vector F va girando, y el vector aceleración del objeto le sigue. Si definimos los vectores unitarios t y n, tangencial y normal respectivamente, la aceleración puede expresarse en cada momento en función de esos vectores: $$\overrightarrow a=a_t\cdot\widehat t+a_n\cdot\widehat n$$.
En la figura 9 vemos ese giro de la aceleración con respecto a los ejes determinados por t y n en dos situaciones distintas: a la izquierda el material es acero, con un coeficiente k = 0.58 lo que sucede es que inicialmente el vector aceleración es paralelo al vector tangencial t, y en sólo 0.18 segundos el objeto ha igualado la velocidad del plato, se pega a él, deja de deslizar, su celeridad y su aceleración tangencial pasan bruscamente a valer 0, y el rozamiento pasa de ser dinámico a estático (el coeficiente de rozamiento estático es siempre mayor que el dinámico), toda la aceleración pasa a ser normal, y vale v²/r = 1 m/s², con una fuerza normal Fn = 0.1·1 = 0.1Newton.
La situación es bien distinta en el caso de la derecha, en el que el material es teflón con un coeficiente k = 0.04 tan bajo que la celeridad del objeto aumenta lentamente hasta que a los 1.9 segundos el vector aceleración ha girado 90⁰, toda la aceleración proporcionada por el rozamiento se invierte en la componente normal antes de que el objeto haya igualado la velocidad del plato: el objeto queda permanentemente deslizando sobre la superficie sin pegarse nunca a él, pues el rozamiento es insuficiente para ello. Hemos supuesto que no hay deslizamiento en la dirección normal (o centrípeta) para no complicar maś el problema. Los cálculos se han realizado numéricamente, sin usar las ecuaciones analíticas del movimiento que requieren plantear y resolver una ecuación diferencial que relaciona las variables anteriores, celeridad y aceleraciones normal y tangencial. ▢
En el ejemplo 3 se puede considerar el objeto como un cuerpo puntual; en otro caso al adaptar las leyes de Newton a cuerpos no puntuales en rotación las aceleraciones vendrán determinadas por los momentos resultantes en vez de las fuerzas, y en vez de por las masas por los momentos de inercia de los cuerpos en rotación. Las aceleraciones adicionales que aparecen en sistemas de referencia no inerciales se describen con detalle en el artículo Cinemática vectorial: sistemas de referencia, vectores posición, velocidad y aceleración. Para la descripción vectorial de las velocidades en sistemas en rotación tenemos el artículo Cinemática vectorial: velocidad angular, ángulos de Euler. Para ver problemas resueltos sobre estos temas podéis consultar Problemas resueltos en la página de Física.
3a ley de Newton, de acción y reacción
Para entender esta ley en casos prácticos es preciso distinguir claramente a qué cuerpo se aplica cada fuerza. Por ejemplo en la figura 10 vemos un esquema de un cuerpo de masa m suspendido de un cilindro en vista axial por una cuerda. Interpretemos las fuerzas: sobre el cuerpo actúan dos fuerzas, la de su peso, de valor -mg, y la tensión de la cuerda +T que tira de ella hacia arriba contrarrestando el peso; en equilibrio estático ha de ser +T - mg = 0, por tanto T = mg. La cuerda está atada al cilindro sobre el que ejerce la misma fuerza T pero en sentido contrario: -mg. ¿Qué fuerzas son aplicadas a la cuerda? Por la 3a ley, el cilindro reacciona ejerciendo una fuerza igual y de sentido contrario a la que recibe, +mg, y el cuerpo reacciona sobre la cuerda también invirtiendo la tensión T = +mg recibida, o sea tira de la cuerda según -mg. Por tanto la cuerda es estirada, con una fuerza +mg en el extremo del cilindro y con una fuerza -mg por el extremo del cuerpo. La resultante es nula, +mg - mg = 0 como exige la 1a ley para el equilibrio estático.
Ejemplo 4: cuerpo que se deja caer sobre otro en rotación. En el ejemplo 3 veíamos un pequeño objeto caer sobre un plato giratorio, la fricción entre las superficies en movimiento relativo producía una fuerza F de rozamiento del plato sobre el objeto que tendía a acelerar a éste. Aplicando la 3ª ley, el objeto ejercerá una fuerza de igual módulo y signo contrario -F sobre el plato, tendiendo a detenerlo. Si el plato se hace girar con un motor, éste deberá compensar la fuerza -F desarrollando un trabajo, o sea, consumiendo energía para que el plato no se detenga. En este sentido el motor está transfiriendo cantidad de movimiento al objeto que cae en el plato a través de la fuerza de rozamiento, consumiendo en ello una energía igual a la energía cinética final del objeto. ▢
Conclusión
Aunque a primera vista las leyes de Newton parezcan simples, hemos visto que sólo lo son para cuerpos puntuales y referencias inerciales, e incluso en este caso el problema se complica en seguida debido al carácter vectorial de las fuerzas y aceleraciones. Si el cuerpo tiene dimensiones no despreciables al aplicarle fuerzas en distintos puntos aparecen efectos de giro y necesitamos especializar las ecuaciones al caso de pares de fuerzas e inercias de giro (momentos de inercia). Si la masa o la fuerza o ambas no son constantes, entonces necesitamos la forma diferencial de la 2a ley, que es una ecuación diferencial que puede ser complicada de resolver en muchos casos prácticos, en realidad, en la mayoría. Además si el cuerpo está situado en una referencia acelerada, no inercial, necesitamos también ampliar el modelo incluyendo fuerzas y aceleraciones ficticias. Todo ello lleva a que saber resolver problemas con la mecánica de Newton necesite un trabajo de horas de estudio y práctica, y que además su aplicación directa sólo sea posible en un rango limitado de problemas. Para potenciar la resolución de las ecuaciones de Newton se han desarrollado métodos de solución de ecuaciones diferenciales así como planteamientos alternativos: la mecánica analítica de Lagrange.
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