Topología de R

Cálculo en R -> Topologia de R

Introducción

Las funciones reales toman un número y lo transforman en otro; cuando se estudian las propiedades de las funciones, interesa conocer en detalle los objetos que utiliza, esto es, los números denominados reales. En Matemáticas la topologia estudia las propiedades de los conjuntos, en particular la topologia de los números reales trata sobre las características de los conjuntos de números reales.

Contenido:

1. Axiomas de los números reales
2. Topología de R
3. Puntos notables de un conjunto
4. Conjuntos compactos

1. Axiomas de los números reales

Los distintos tipos de números con los que trabajamos en Matemáticas pueden agruparse en conjuntos, caracterizados por ciertas propiedades en común:

• Los números naturales, 1, 2, 3, 4, ... , sin decimales ni signo; la notación para este grupo es: N
• Los números enteros, que incluyen los naturales i además el 0 y los opuestos en signo de los naturales, -1, -2, -3, -4, ...; la notación es: Z
• Los números racionales, que incluyen los enteros i además todas las fracciones, tanto positivas como negativas, como por ejemplo 3/4, -1/7 o 200/34; la notación para este conjunto es: Q
• Los números irracionales, que son números decimales, de hecho con infinitos decimales, que no pueden expresarse como fracción; por ejemplo, el número π . No hay una notación comunmente aceptada para estos números, por razones teóricas.
• Los números reales, que incluyen todos los anteriores conjuntos. O sea, los números 5, -6, 4/7, -3/8, π, ... son todos números reales. La notación es: R

En este post vemos las propiedades del conjunto R, así como su definición rigurosa; los hemos definido mediante ejemplos, pero matemàticamente no es la forma correcta de hacerlo: hay que utilizar axiomas. 



Axiomas: Un axioma es un enunciado acerca de una propiedad que se acepta como parte de una definición, sin necesidad de razonarla ni demostrarla. Por ejemplo, en la geometria Euclídea se acepta como axioma que la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta.


Axiomas de R:

Se refieren a algunas propiedades básicas de los reales y de las operaciones suma y resta. Podemos agruparlos en axiomas sobre la suma y el producto, sobre el orden de los números, y sobre la acotación de conjuntos:

• Axioma de la suma: si x, y son dos reales, entonces x + y también lo es.
• Axioma del producto: si x, y son dos reales, entonces x·y también lo es.
• Propiedades de la suma: 

1. conmutativa: x + y = y + x 
2. asociativa: (x + y) + z = x + ( y + z)
3. elemento neutro: x + 0 = x
4. elemento inverso: para cada x, existe un y tal que x + y = 0

• Propiedades del producto:

1. conmutativa: x · y = y · x
2. asociativa: (x · y) · z = x · ( y · z)
3. elemento neutro: x · 1 = x
4. elemento inverso: para cada x, existe un y tal que x · y = 1
5. distributiva: x·(y + z) = x·y + x·z 

• Axiomas del orden:

1. si x, y son dos reales, entonces o bien x < y, o bien y > x, o bien x = y
2. si x < y, entonces x + z < y + z
3. si x > 0 e y > 0, entonces x·y > 0
4. si x > y e y > z, entonces x > z

• Axioma del supremo: Necesitamos primero definir los conjuntos acotados. Si tenemos un conjunto cualquiera A de números reales, diremos que es acotado superiormente si existe algun número real z tal que z es mayor o igual que todos los elementos de A; en ese caso, el número z es una cota superior de A. Cualquier número z' > z tambien será cota superior de A. Pues bien, la mínima cota superior de A se llama el supremo del conjunto A. El axioma del supremo afirma que todo conjunto no vacio que sea acotado superiormente ha de tener un supremo. 

Ejemplos

1. El intervalo abierto (-∞ , 3) es acotado superiormente: son cotas superiores el 4 el 5, etc. Además es un conjunto no vacío de R, por tanto por el axioma del supremo ha de existir el supremo del conjunto. De hecho, el supremo es 3, por que es una cota superior y además la menor posible.

2. Si tenemos un conjunto cualquiera A de números reales, diremos que es acotado inferiormente si existe algun número real z tal que z es menor o igual que todos los elementos de A; en ese caso, el número z es una cota inferior de A. El conjunto A = (-∞ , 3) no es acotado inferiormente, pues no existe ningun z que sea menor o igual a todos los elementos del intervalo.

3. En un conjunto acotado inferiormente, la mayor de todas las cotas inferiores se llama ínfimo del conjunto. El intervalo (-2, 2) es acotado tanto inferior como superiormente (en este caso diremos simplemente que es acotado), su ínfimo es -2 y su supremo es 2.

4. A veces tenemos que trabajar con conjuntos que son uniones y/o intersecciones de otros. Sean A = (-∞ , 3), B = (-2, 2). Queremos saber si el conjunto A ∪ B tiene cotas, ínfimo y supremo. En estos casos es de ayuda dibujar en una recta los conjuntos:

Vemos que  A ∪ B coincide con A (esto es porque B está contenido en A), por tanto es acotado superiormente pero no inferiormente, y su supremo es 3.
Veamos ahora el conjunto intersección  A ∩ B:

Ahora es A ∩ B = B (por el mismo motivo : B está contenido en A). Vamos con un ejemplo diferente; sea A = (-∞ , 3), B = [0, 4]; A ∪ B será el intervalo (-∞ , 4], entonces A ∪ B es acotado superiormente pero no inferiormente, su supremo es 4. Para A ∩ B será:

A ∩ B es un conjunto acotado superiormente e inferiormente (o sea, es un conjunto acotado), y tendrá supremo e ínfimo, que son 0 y 3, respectivamente.

5. Si nos piden que demostremos que un conjunto de números reales tiene supremo o ínfimo, por el axioma del supremo, sabemos que tendrá supremo si es acotado superiormente.

Recordatorio sobre intervalos:

• Un intervalo abierto (a, b) es el conjunto de puntos a < x < b ; fijémonos que no incluye los puntos extremos a, b.
• Un intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de puntos a ≤ x ≤ b ; fijémonos que sí incluye los puntos extremos a, b.
• Un intervalo semiabierto (a, b] es el conjunto de puntos a  < x ≤ b ; fijémonos que sí incluye el punto extremo b pero no el a. De parecida manera definimos [a, b) como a ≤ x < b. 
• El caso particular en el cual uno de los extremos es infinito siempre es un abierto en el extremo infinito; por ejemplo [a, +∞ ), (a, +∞), (-∞, b), (-∞, b]. Evidentemente, (-∞, +∞) = R pues incluimos todos los reales.

2. Topología de R

Los axiomas de orden junto con el axioma del supremo nos sirven para definir con precisión matemática el concepto de proximidad. Más técnicamente, nos sirven para definir la topología de los números reales.  Para ello, enunciamos algunas propiedades (sin demostrarlas) y nuevas definiciones.


Propiedad 1: Para todo intervalo (a, b) existe un número racional q que està dentro del intervalo: a < q < b.

Ejemplo: En el intervalo (1, 2) basta tomar q = (1+2)/2 = 3/2.

Propiedad 2: Entre cualquier par de números reales  a, b existen infinitos números racionales.

Ejemplo: En el intervalo anterior, consideramos los intervalos (1, 3/2) y (3/2, 2); para cada uno de ellos encontramos nuevos números racionales: (1 + 3/2)/2 = 5/4 para el primero, (3/2 + 2)/2 = 7/4 para el segundo. Ahora seguimos con los intervalos (1, 5/4), (5/4, 3/2), (3/2, 7/4), (7/4, 2), obtendremos 4 nuevos racionales que dan lugar a 8 intervalos. Siguiendo el proceso, obtenemos infinitos racionales todos ellos en el intervalo original (1, 2).

Propiedad 3 (Postulado de Cantor): Si tenemos n intervalos cerrados I1, I2 , ... In,  relacionados entre sí de tal forma que para cualquier pareja Ij, Ik se cumple que o bien Ij ⊆ Ik o bien Ik ⊆ Ij (uno está incluido en el otro), entonces la intersección de todos ellos I1 ∩ I2 ∩ ... ∩ In  no puede ser vacía. 

Ejemplo: Tenemos los intervalos [1, 5], [2, 4] y [ 3, 4]; se cumple que
[2, 4] ⊆ [1, 5], [ 3, 4] ⊆ [1, 5] y  [ 3, 4] ⊆ [2, 4] (observar que tenemos que comprobar todas las parejas posibles de intervalos). Entonces la intersección de todos ellos, [1, 5] ∩ [2, 4] ∩ [ 3, 4], no puede ser vacía; de hecho, resulta ser [3, 4].

Nota: un postulado es una propiedad que en principio no se demuestra, se acepta, de forma similar a los axiomas. 

Vamos ahora por las definiciones:

Definición 1: Dado un real a, el entorno abierto de centro a y radio r > 0 es el intervalo  abierto (a - r, a + r). La notación para el entorno es: B(a, r). 

Ejemplo: El entorno B(0, 2) es el intervalo (0 - 2, 0 + 2) = (-2 ,2). Observemos que el intervalo tiene como centro el número cero:

Recordatorio: el valor absoluto de un número x, que escribimos como |x|, es el mayor de los valores x, -x. Simbólicamente:

|x| = máximo {x, -x}

Usando el valor absoluto, se puede definir el entorno de un punto de otra forma equivalente:

B(a, r) = { x reales tales que: |a - x| < r }

¿Se ve clara esta equivalencia? Veamos: si x está en el intervalo (a - r, a + r), entonces a - r  ≤ x ≤ a + r; aplicando los axiomas de R, se puede ver que es lo mismo que decir que - r  ≤ x - a ≤ r ; esta última desigualdad a su vez implica que |x - a|  ≤ r; por último, como |x - a| = |a - x|  resulta que |a - x| ≤ r como queríamos demostrar. 

Definición 2:  Un conjunto A es un conjunto abierto si para cualquier punto x de A existe un entorno abierto centrado en x: B(x, r), con r cualquier valor positivo distinto de cero.

Ejemplo: Sea A el conjunto de puntos en el interior de un círculo de centro c y radio a, sin incluir la línea que delimita el círculo, A = {x reales tales que |x - c| < a}.  Entonces para cualquier punto en el interior, situado a una distancia d de la periferia, podremos trazar un pequeño círculo de radio r < d, tal que todo el estará dentro de A.

Si A es abierto, todo x punto de A puede rodearse de un entorno abierto

Definición 3:  Un conjunto A es un conjunto cerrado si su complementario R - A es abierto.

Ejemplo: El complementario de un conjunto A, es el formado por todos los puntos que no son de A. En el ejemplo anterior, A = {x tales que |x - c| < a}, entonces el complementario R - A = {x tales que |x - c| ≥ a}, hemos invertido la desigualdad. Este conjunto es cerrado.

De las definiciones de abiertos podemos comentar algunas propiedades:

• Los intervalos abiertos (a, b) son conjuntos abiertos
• El conjunto vacío Ø y el conjunto total R son ambos abiertos
• La unión de conjuntos abiertos es un conjunto abierto
• La intersección (finita, no infinita) de abiertos es un abierto

Algunos ejemplos de aplicación de las propiedades:

• El intervalo (2, 3) es un conjunto abierto
• Los conjuntos {(2, 3) ∪ (5, 6)} y {(2, 3) ∩ (5, 6)} son abiertos
• El conjunto {x} por un único número real es cerrado, pues no es abierto. En efecto, no existe ningún radio r > 0 tal que el entorno B(x, r) esté contenido en el conjunto {x}.

De forma similar, tenemos propiedades de los cerrados:

• El conjunto vacío Ø y el conjunto total R son ambos cerrados
• La intersección de cerrados es un conjunto cerrado
• La unión (finita, no infinita) de conjuntos cerrados es cerrado
• Los intervalos cerrados [a, b] son conjuntos cerrados

Más ejemplos:

• Observemos que el conjunto vacío Ø y el conjunto total R son ambos abiertos y cerrados a la vez.
• {[2, 3] ∪ [5, 6]} y {[2, 3] ∩ [5, 6]} son conjuntos cerrados
• Consideremos los intervalos abiertos (-1, 1), (-1/2, 1/2), (-1/3, 1/3), ..., en número infinito, cada intervalo es más estrecho que el anterior; entonces la intersección de todos ellos contiene un único punto, el 0, y por tanto el conjunto intersección es cerrado.

Puntos notables de un conjunto

 La Topología sirve para fijar la posición de números reales ("puntos") respecto de conjuntos de R. Definimos ahora algunos puntos importantes de los conjuntos de números reales.

Sea un conjunto A de números reales.

Definición 4: un punto a de A es un punto interior de A si existe algún radio r > 0 tal que el entorno B(a, r) está dentro de A.

Ejemplo:  Si A es un conjunto abierto, entonces todos sus puntos x son puntos interiores, pues para cualquiera x existirá un r >0 tal que el entorno B(x, r) està contenido en A

En un conjunto abierto A, todos los puntos x de A son interiores a A.

Definición 5: un punto b de A es un punto de adherencia de A si en todo entorno B(b, r) siempre encontramos al menos un punto de A.

Ejemplo:  Todos los puntos x del conjunto A son de adherencia de A, pues cualquier entorno  B(x, r) contiene al menos un punto de A: el propio punto x.

Definición 6: un punto c de A es un punto frontera de A si en todo entorno B(c, r) de c encontramos tanto puntos que son de A, como puntos que no son de A.

Ejemplo: Sea A el intervalo cerrado [1, 2]; los puntos extremos 1 y 2 son puntos de frontera de A, pues para cualquier radio r > 0, si cogemos un entorno B(x, r) contiene puntos dentro de A pero también fuera de A.

El punto c situada exactamente en el círculo, es punto frontera, todo entorno B(c, r) tiene una parte dentro de A y otra fuera. El punto exterior e no es frontera, pues puede rodearse de un pequeño entorno B(e, r) tal que quede totalmente fuera de A

Algunas propiedades de los puntos interiores, de adherencia y de frontera:

1. Los puntos interiores de A siempre pertenecen a A
2. Todos los puntos de A son puntos de adherencia de A
3. No todos los  puntos de adherencia de A tienen porque ser puntos de A
4. Los puntos frontera son también puntos de adherencia
5. Los puntos frontera no tienen porque ser puntos de A

Notaciones abreviadas: llamemos Int(A), Adh(A) y Front(A) al conjunto de puntos que son interiores, de adherencia, y de frontera de A, respectivamente.

Algunos ejemplos relativos a estas propiedades: sea el conjunto A el intervalo (3, 5); entonces,

• Int(A) = (3, 5) = A, ya que todos los puntos de A pueden contenerse en un entorno que queda dentro de A, tomando un radio r suficientemente pequeño.
• Front(A) = {3, 5}, ya que en los extremos del intervalo todo entorno contiene puntos de A y puntos que no son de A
• Adh(A) = [3, 5] , ya que para todos los puntos de [3, 5] cualquier entorno contendrá al menos un punto de A

A continuación vemos más propiedades, estas nuevas no son tan intuitivas como las anteriores, por eso les damos un rango más formal, y las enunciamos como un teorema, que no demostramos aquí:

Teorema 1, sobre algunas propiedades de los conjuntos Int(A), Adh(A) y Front(A)

 Para todo conjunto A de números reales se cumple lo siguiente:

1. Int(A) ⊆  A  ⊆ Adh(A)
2. Int(A) es un conjunto abierto
3. Adh(A) es un conjunto cerrado
4. Adh(A) = Int(A) ∪ Front(A)
5. A es un conjunto abierto si y solo si A = Int(A)
6. A es un conjunto cerrado si y solo si A = Adh(A)

Ejemplo: para el intervalo (3, 5) hemos visto que Int(A) = (3, 5) = A, por la propiedad 5, podemos asegurar que A es un conjunto abierto (cosa que ya sabíamos). El conjunto de adherencia de A, Adh(A), que hemos visto que es [3, 5], es igual a A ∪ Front(A) = (3, 5) ∪ {3, 5} como asegura la propiedad 4 del teorema.

Nos quedan por definir otros dos puntos notables: los de acumulación y los aislados.

Definición 7:  un punto a de A es un punto de acumulación de A si en todo entorno B(a, r) encontramos puntos de A, aparte del propio punto a. El conjunto de puntos de acumulación de A lo abreviamos por Acum(A).

Definición 8:  un punto a de A es un punto aislado de A si existe al menos un radio r > 0 tal que el único punto del entorno B(a, r) que es de A es el propio punto a. El conjunto de puntos aislados de A lo abreviamos por Aisl(A).

Ejemplo: Sea el conjunto A = (3, 5] ∪ {7} 

• El punto a={7} es un punto aislado de A; si cogemos un radio r = 1, por ejemplo, en el entorno B(a = 7, r = 1) solo hay un punto de A, el propio a. A no tiene más puntos aislados, por tanto Aisl(A) = {7}.
• El intervalo [3, 5], con los extremos incluidos son los puntos de acumulación de A. En cambio el punto aislado {7} no puede ser un punto de acumulación, pues hay entornos B(7, r) que no contienen puntos de A, aparte del propio a.
• La adherencia de A es el conjunto [3, 5] ∪ {7}.

Acabamos con esta sección sobre puntos notables de un conjunto con un teorema que nos enuncia propiedades de los puntos aislados y de acumulación.

Teorema 2, sobre algunas propiedades de los conjuntos Acum(A) y Aisl(A)

Para todo conjunto A de números reales se cumple lo siguiente:

1. Acum (A) ∩  Aisl(A) = ∅  (no tienen puntos en común)
2. Adh(A) = Acum(A) ∪ Aisl(A)
3. Aisl(A) ⊆ A
4. Int(A) ⊆ Acum(A)

Algunos ejemplos:

• El conjunto de los números naturales N, considerado como un subconjunto de los números reales R, está compuesto de puntos aislados. Para confirmarlo, imaginemos un número naturales n cualquiera; la distancia con cualquier otro número natural m distinto de n será, como mínimo, de 1. Sea entonces un radio r menor que 1, por ejemplo, r = 0.5. Entonces en el entorno B(n, r) solo habrá un único punto de N, el propio n. Por tanto n es un punto aislado. El razonamiento es general, vale para cualquier n. Por tanto, todos los elementos de N son puntos aislados.

•  Por idèntico razonamiento, todo conjunto formado por puntos aislados, como por ejemplo A = {1 , 3, 5}, es un conjunto cerrado.

• ¿Cuál es el interior del conjunto A = (-2, 1) ∪ (1, 2) ? Como A es un conjunto abierto (la unión de abiertos es un abierto), el interior de A coincide con al propio A (propiedad 5 del teorema 1).

• ¿Cuáles son los puntos frontera del conjunto A = (-2, 1) ∪ (1, 2) ? Los puntos frontera son Front(A) = {-2, 1, 2}

•  ¿Cuáles son los puntos de adherencia del conjunto A = (-2, 1) ∪ (1, 2) ? Por la propiedad 4 del teorema 1, la adherencia de A es Adh(A) = Int(A) ∪ Front(A) =  (-2, 1) ∪ (1, 2) ∪ {-2, 1, 2} = [-2, 1] ∪ [1, 2] = [-2, 2]

• ¿Cuáles son los puntos de acumulación del conjunto A = (-2, 1) ∪ (1, 2) ? Por la propiedad 2 del teorema 2 tenemos que Adh(A) = Acum(A) ∪ Aisl(A), pero el conjunto Aisl(A) es vacío, así pues Adh(A) = Acum(A) = [-2, 2]

4 . Conjuntos compactos

 Los denominados conjuntos compactos tienen propiedades "deseables" para la teoría de funciones, dicho de forma llana, si una función se define en un conjunto compacto, entonces muchas cosas se simplifican. 

Empezamos con algunas definiciones.

Definición 9: supongamos que tenemos los conjuntos A1, A2, ..., An, y por otro lado tenemos otro conjunto B. Diremos que {A1, A2, ..., An} es un recubrimiento de B si B queda incluido (recubierto) por la unión de todos los conjuntos
A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An.

Ejemplo:  Los intervalos [0, 1], [1, 2], [2, 3], ... [9, 10] son un recubrimiento del conjunto B = [3, 7], pues [3, 7] ⊆ [0, 1] ∪ [1, 2] ∪ [2, 3] ∪ ... ∪ [9, 10]. En cambio el conjunto C = [3, 7] ∪ {-1} no lo está, pues el punto aislado {-1} no pertenece a la unión de los intervalos [0, 1] ∪ [1, 2] ∪ [2, 3] ∪ ... ∪ [9, 10].

Definición 10: Supongamos que tenemos un recubrimiento {A1, A2, ..., An} de B, formado por n conjuntos; si existe un subconjunto formado por k < n elementos de  {A1, A2, ..., An} que también recubre B, diremos que ese subconjunto es un subrecubrimiento.

Ejemplo: El subconjunto {[2, 3], ... [7, 8]} del recubrimiento {[0, 1], [1, 2], [2, 3], ... [9, 10]} de B = [3, 7] es un subrecubrimiento de B, pues B ⊆ [2, 3], ... [7, 8] .

Ahora podemos dar la definición de conjunto compacto:

Definición 11: Un conjunto A de números reales es un conjunto compacto si: (1) existen recubrimientos de A formado por conjuntos abiertos, y además, (2) para cada recubrimiento existe un subrecubrimiento con un número finito de elementos.

La definición no es muy operativa para ver si un conjunto dado es o no compacto, pues debemos demostrar la existencia de subrecubrimientos para todo recubrimiento abierto.  Interesan más las propiedades:

Propiedades de los conjuntos compactos:

1. La unión finita de compactos es un compacto
2. Los intervalos cerrados son compactos
3. Los conjuntos cerrados, contenidos en un compacto, son compactos
4. Teorema 3, de Heine-Borel: todo conjunto cerrado y acotado de R, es compacto.

Ejemplos:

• El intervalo B =[2, 3] es cerrado, luego B es compacto

• El intervalo B =(2, 3) es abierto, luego B no es compacto

• El intervalo B =(2, 3] no es ni cerrado ni abierto, luego B no es compacto

• El conjunto B = {1} formado por un únic punto aislado, es cerrado, y también es acotado, luego es compacto.

• El conjunto {1, 3, 5} está formado por la unión finita de compactos, luego es compacto.

• El conjunto infinito de puntos {1, 3, 5, 7, 9, 11, ... } no es acotado, luego no es compacto.    

Terminamos la teoria de Topologia con un teorema de propiedades de los conjuntos de R.

Teorema 4, sobre conjuntos infinitos acotados (Bolzano-Weierstrass):

Todo conjunto A de números reales, que contenga infinitos elementos, y que sea acotado, tiene al menos un punto de acumulación. 

La demostración de este teorema utiliza la noción de conjunto compacto, y se verá en los ejercicios.

 

Ejemplo:  Sea el conjunto infinito de puntos aislados {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ..., 1/n, ...}. Es acotado, pues el 0 es cota inferior y el 2 cota superior, Por tanto, ha de tener un punto de acumulación. De hecho, ese punto es el 0, que no pertenece al conjunto. ¿Puede ver el lector el por què?