Invariancia y vectores Muchas leyes físicas tienen la propiedad llamada invariancia (que no varían) frente a transformaciones de coordenadas, concretamente presentan invariancia respecto a la traslación y a la rotación de los ejes coordenados. Por ejemplo, pensemos en una fuerza aplicada sobre un objeto de masa m = 1Kg tal que su magnitud es de 10N y su dirección forma un ángulo de 45 con el eje X, siendo su sentido positivo. Esa fuerza provocará una aceleración sobre el cuerpo, de magnitud dada por la ley de Newton a = F / m = 10N / 1Kg = 10 m/s² y dirección coincidente con la de la fuerza. Si nos preguntamos qué cambiará cuando movemos los ejes de coordenadas hacia la derecha, y los giramos 30 grados en sentido antihorario, la respuesta es que la aceleración será exactamente la misma pero el vector que la representa tendrá unas componentes distintas, relativas al nuevo eje de coordenadas. Fig. 1: La aceleración producida por la fuerza no depende de la traslación o rotación de los
Cálculo en R -> Topolog í a de R -> Problemas Problemas resueltos de Topología de R 1. Razonar (no demostrar rigurosamente, solo razonar) que, dado un intervalo cerrado [a, b], su conjunto de puntos interiores será el intervalo abierto (a, b). Solución Para todos los puntos x de (a, b) podemos escoger un radio r > 0 lo suficientemente pequeño para que el entorno B(x, r) quede dentro de (a, b); pero esto no es cierto para los extremos a , b del intervalo, ya que en ellos cualquier entorno B(a, r) y B(b, r) tendrá puntos que no son de [a, b]. Por tanto los únicos puntos no interiores de [a, b] son los extremos a, b, y el interior del intervalo cerrado es el abierto (a, b). En el intervalo cerrado [0,5], podemos definir entornos interiores de cualquier punto, como por ejemplo x = 3, excepto en los extremos, como en x = 0, donde cualquier entorno por pequeño que sea "se sale" del intervalo por la izquierda. 2. Razonar que Int (A ∪ B) = Int (A) ∪ In