divendres, 7 de febrer de 2014

Cálculo en R -> Topología de R -> Problemas

Problemas resueltos de Topología de R

1. Razonar (no demostrar rigurosamente, solo razonar) que, dado un intervalo cerrado [a, b], su conjunto de puntos interiores será el intervalo abierto (a, b).


Solución

Para todos los puntos x de (a, b) podemos escoger un radio r > 0 lo suficientemente pequeño para que el entorno B(x, r) quede dentro de (a, b); pero esto no es cierto para los extremos a , b del intervalo, ya que en ellos cualquier entorno B(a, r) y B(b, r) tendrá puntos que no son de [a, b]. Por tanto los únicos puntos no interiores de [a, b] son los extremos a, b, y el interior del intervalo cerrado es el abierto (a, b).

En el intervalo cerrado [0,5], podemos definir entornos interiores de cualquier punto, como por ejemplo x = 3, excepto en los extremos, como en x = 0, donde cualquier entorno por pequeño que sea "se sale" del intervalo por la izquierda.


2. Razonar que Int (A ∪ B) = Int (A) Int(B), donde "Int" representa el conjunto de puntos interiores del conjunto.

Solución
 
Supongamos que existe un punto x del interior de ∪ B que no pertenece ni a Int(A) ni a Int(B). Por ser de Int(∪ B), podrá rodearse de un entorno de puntos E(x, r) todos de ∪ B, esto es, de puntos que o son de A o son de B. Pero  hemos supuesto que x  no pertenece ni a Int(A) ni a Int(B), lo cual implica que no existe ningun r > 0 tal que E(x, r) esté contenido ni en A ni en B, esto es, que todos sus puntos sean de A o sean de B. Tenemos una contradicción. Por tanto, si x es del interior de ∪ B, entonces x pertenece a  Int(A) o a Int(B), esto es, Int (A ∪ B) = Int (A)  Int(B).


3. Dado el conjunto A = [-6, 5]  (-2, 0) ∪ {2} (3, +∞), obtener:

a) Puntos interiores y puntos exteriores
b) Puntos frontera
c) Puntos de adherencia
d) Puntos de acumulación



Solución

a) El interior del conjunto A será la unión de los conjuntos interiores (ver problema 2):

Int A = Int [-6, 5]   Int(-2, 0) ∪ Int{2} ∪ Int(3, +∞)

Int [-6, 5] = (-6, 5) por el ejercicio 1
Int(-2, 0) = (-2, 0) porque el interior de un conjunto abierto es el propio conjunto
Int{2} = Ø porque un punto aislado no tiene puntos interiores
Int(3, +∞) = (3, +∞) porque es un abierto

Queda: Int A = (-6, 5)   (-2, 0) ∪ (3, +∞)

b) Un punto c de A es un punto frontera de A si en todo entorno B(c, r) de c encontramos tanto puntos que son de A, como puntos que no son de A. Los extremos de los intervalos tanto abiertos como cerrados son puntos frontera, y los puntos aislados también lo son:

Frontera A = {-6, 5, -2, 0, 2, 3}

c) Usamos una de las propiedades de los teoremas vistos en la teoría

Adh(A) =
Int(A) ∪ Front(A) = 
Int [-6, 5]   Int(-2, 0) ∪ Int{2} ∪ Int(3, +∞)  {-6, 5, -2, 0, 2, 3}  =
 [-6, 5]   [-2, 0] ∪ {2} ∪ [3, +∞)

d)  Usamos otra de las propiedades de los teoremas vistos en la teoría Adh(A) = Acum(A) ∪ Aisl(A), por tanto Acum(A) = Adh(A) - Aisl(A) = [-6, 5]   [-2, 0]  ∪ [3, +∞)

4. ¿Es compacto el conjunto A = {números x reales tales que 0 ≤ x² < 1} ?

Solución:


Siendo que x² < 1 implica que |x| < 1, y que 0  ≤ x² implica que 0  ≤ |x|, podemos expresar el conjunto A con intervalos: A = (-1, 0]   [0, 1) = (-1, 1) que es un intervalo abierto. Como todos los conjuntos compactos en R son cerrados (ya acotados), A no puede ser compacto.   

5. Sea C un conjunto compacto y A un intervalo abierto de R. ¿Es compacto C ∩ A?

Solución:

Evidentemente si A está incluido en C, es  C ∩ A = A que es un abierto, y por tanto no es un compacto.
En el otro extremo, si C está incluido en A, entonces  C ∩ A = C que es compacto.
Si C ∩ A =  Ø , el conjunto vacío se considera compacto.
El último caso és el que da más trabajo: si A no está incluido en C ni C en A, pero C ∩ A no está vacío.

  1. Pensemos en un punto x que pertenezca a la frontera de A y a C simultáneamente. Tendremos que:
  2. Como el punto x pertenece a la frontera de A,  en todo entorno E(x, r) habrán tanto puntos de  A como puntos que no son de A
  3. En todo entorno E(x, r) además habrán puntos de C (como mínimo el propio x). 
  4. Por tanto en todo entorno E(x, r) habrán puntos de C ∩ A y puntos que no son de C ∩ A: esto implica que x pertenece a la frontera de C ∩ A.
  5. Pero en un conjunto cerrado, todos los puntos de la frontera pertenecen al conjunto; en cambio, hemos visto que x pertenece a la frontera de C ∩ A y no pertenece a  C ∩ A. 
  6. Por tanto  C ∩ A  no puede ser cerrado, ni compacto.



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