dimarts, 10 de gener de 2012

Introducción a les funciones reales de varias variables

Función real de varias variables reales
Una función real de varias variables reales es una regla explícita de correspondencia que relaciona un vector real (x1, x2, ..., xn) con un valor real y = f(x1, x2, ..., xn). Por ejemplo,
f(x1, x2) = x1+ x2
f(x1, x2, x3) = 2x1/ x2 + x3
f(x1, x2) = (x1· x2)² - x3

También reciben el nombre de funciones reales de variable vectorial, debido a que relacionan un vector con un número real. Simbòlicamente lo expresamos como una aplicación del espacio Rn  en la recta real:
f: Rn → R
(x1, x2, ..., xn→ y

Igual que en el caso de funciones reales de una variable, se pueden formar tablas de valores; así, una tabla de valores para la primera función del ejemplo anterior es:

 x x2    y
  0  1  1 
  1  0   1  
  1  1  2

En el caso de funciones de dos variables, suelen usarse las letras x, y para las variables independientes, reservando la z para la dependiente: z = f(x,y).

A partir de la tabla de valores podremos dibujar la gráfica de la función, pero sólo en el caso de funciones de dos variables, debido a que con ellas ya necesitaremos tres dimensiones para la representación: dos para las variables independientes, que se suelen poner en el plano horizontal, y la tercera para la variable dependiente, que se pone como eje vertical. Algunos ejemplos:

z = x+y, un plano
z = exp(-x²-y²)

También tenemos los conceptos de límite, dominio, recorrido y continuidad de las funciones de varias variables, definidos como generalizaciones de los conceptos análogos para funciones de una variable. Así, por ejemplo, el dominio de la función z = exp(-x²-y²) es el conjunto de valores {(x,y)} tales que existe el correspondiente valor z; estando la función exponencial definida para todo valor, el dominio será todo el plano R²; el recorrido es el conjunto {(x,y)| x>0, y>0}, la función es continua en todos los puntos, y el límite de la función cuando nos acercamos al punto (0,0) es lim z = 1.

En general  el dominio de una función real de n variables es una región del espacio Rn  consistentes en el conjunto de todos los vectores de coordenadas (x1, x2, ..., xn) tales que obtenemos un número real cuando lo usamos en la expresión de la función.  Por ejemplo, la función f(x,y,z) = Log x + Log y + Log z tendrá por dominio el conjunto {(x,y,z) tales que x >0, y>0, z>0)}, pues los valores negativos no pueden usarse en la función logaritmo (Log).


Ejemplos de funciones reales de variable vectorial
  • La superficie de un rectángulo de lados x, y viene dada por la función área = z = f(x,y) = x·y
  • El volumen de un paralepípedo de caras perpendiculares y de lados x, y, z es igual al resultado de la función real de tres variables f(x,y,z) = x·y·z
  • El capital final obtenido al invertir un capital inicial C durante t años a un interés compuesto del i% viene dado por la función de tres variables f(C, t, i) = C·(1+i/100)t
  • En un gas ideal encerrado en un recipiente, la presión del gas P es una función de las variables volumen V y temperatura T: P (V,T) = nRT/V, donde R es la constante universal de los gases y n el número de moles del gas.
  • Dados n datos numèricos reales, la media aritmética de todos ellos es la función real de variable vectorial  f(x1, x2, ..., xn) =  (x1  + x2 + ..., + xn)/n


Cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables
De la misma forma que la derivada de una función real y' = f'(x) nos informa de la tasa de variación de la función por unidad de incremento de la variable dependiente, y que la integral de la función es la operación inversa de la derivación, se extienden estos conceptos a más de una variable, aunque al operar en espacios de dimensiones superiores aparecen nuevas características que es necesario tener en cuenta. Lo veremos en un próximo post.

Curva de nivel obtenida
al cortar la superficie
z = f(x,y) con el plano
horizontal z =  z0   
Curvas de nivel
Si en una función z = f(x1, x2, ..., xn) fijamos un valor z = z0, obtenemos una ecuación que se cumple para ciertos valores de las variables independientes. En el caso de dos variables, gráficamente es como si cortáramos la superficie  z = f(x,y) con el plano horizontal z =  z0, obteniendo una curva z0 = f(x,y)  denominada curva de nivel (level curve). En el caso general, obtenemos el conjunto de nivel  z0 = f(x1, x2, ..., xn) (level set).
Curvas topográficas 
En los mapas topográficos se usan  las curvas de nivel para la función que da la elevación de la tierra en esa zona; la expresión analítica exacta de esa función probablemente no la tendremos, pero lo que si se puede hacer es hacer el gráfico de las curvas de nivel, midiendo sobre el terreno las elevaciones.




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